Ensembles finis Exemples

$x^{4} + 10 x^{3} - 12 x^{2} - 10 x + 11$

Étape 1

Écrivez $x^{4} + 10 x^{3} - 12 x^{2} - 10 x + 11$ comme une équation.

$y = x^{4} + 10 x^{3} - 12 x^{2} - 10 x + 11$

Étape 2

Déterminez les abscisses à l’origine.

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Étape 2.1

Pour déterminer la ou les abscisses à l’origine, remplacez $y$ par $0$ et résolvez $x$ .

$0 = x^{4} + 10 x^{3} - 12 x^{2} - 10 x + 11$

Étape 2.2

Résolvez l’équation.

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Étape 2.2.1

Réécrivez l’équation comme $x^{4} + 10 x^{3} - 12 x^{2} - 10 x + 11 = 0$ .

$x^{4} + 10 x^{3} - 12 x^{2} - 10 x + 11 = 0$

Étape 2.2.2

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 2.2.2.1

Regroupez les termes.

$10 x^{3} - 10 x + x^{4} - 12 x^{2} + 11 = 0$

Étape 2.2.2.2

Factorisez $10 x$ à partir de $10 x^{3} - 10 x$ .

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Étape 2.2.2.2.1

Factorisez $10 x$ à partir de $10 x^{3}$ .

$10 x (x^{2}) - 10 x + x^{4} - 12 x^{2} + 11 = 0$

Étape 2.2.2.2.2

Factorisez $10 x$ à partir de $- 10 x$ .

$10 x (x^{2}) + 10 x (- 1) + x^{4} - 12 x^{2} + 11 = 0$

Étape 2.2.2.2.3

Factorisez $10 x$ à partir de $10 x (x^{2}) + 10 x (- 1)$ .

$10 x (x^{2} - 1) + x^{4} - 12 x^{2} + 11 = 0$

Étape 2.2.2.3

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$10 x (x^{2} - 1^{2}) + x^{4} - 12 x^{2} + 11 = 0$

Étape 2.2.2.4

Factorisez.

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Étape 2.2.2.4.1

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x$ et $b = 1$ .

$10 x ((x + 1) (x - 1)) + x^{4} - 12 x^{2} + 11 = 0$

Étape 2.2.2.4.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$10 x (x + 1) (x - 1) + x^{4} - 12 x^{2} + 11 = 0$

Étape 2.2.2.5

Réécrivez $x^{4}$ comme ${(x^{2})}^{2}$ .

$10 x (x + 1) (x - 1) + {(x^{2})}^{2} - 12 x^{2} + 11 = 0$

Étape 2.2.2.6

Laissez $u = x^{2}$ . Remplacez toutes les occurrences de $x^{2}$ par $u$ .

$10 x (x + 1) (x - 1) + u^{2} - 12 u + 11 = 0$

Étape 2.2.2.7

Factorisez $u^{2} - 12 u + 11$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 2.2.2.7.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $11$ et dont la somme est $- 12$ .

$- 11, - 1$

Étape 2.2.2.7.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$10 x (x + 1) (x - 1) + (u - 11) (u - 1) = 0$

Étape 2.2.2.8

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{2}$ .

$10 x (x + 1) (x - 1) + (x^{2} - 11) (x^{2} - 1) = 0$

Étape 2.2.2.9

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$10 x (x + 1) (x - 1) + (x^{2} - 11) (x^{2} - 1^{2}) = 0$

Étape 2.2.2.10

Factorisez.

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Étape 2.2.2.10.1

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x$ et $b = 1$ .

$10 x (x + 1) (x - 1) + (x^{2} - 11) ((x + 1) (x - 1)) = 0$

Étape 2.2.2.10.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$10 x (x + 1) (x - 1) + (x^{2} - 11) (x + 1) (x - 1) = 0$

Étape 2.2.2.11

Factorisez $(x + 1) (x - 1)$ à partir de $10 x (x + 1) (x - 1) + (x^{2} - 11) (x + 1) (x - 1)$ .

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Étape 2.2.2.11.1

Factorisez $(x + 1) (x - 1)$ à partir de $10 x (x + 1) (x - 1)$ .

$(x + 1) (x - 1) (10 x) + (x^{2} - 11) (x + 1) (x - 1) = 0$

Étape 2.2.2.11.2

Factorisez $(x + 1) (x - 1)$ à partir de $(x^{2} - 11) (x + 1) (x - 1)$ .

$(x + 1) (x - 1) (10 x) + (x + 1) (x - 1) (x^{2} - 11) = 0$

Étape 2.2.2.11.3

Factorisez $(x + 1) (x - 1)$ à partir de $(x + 1) (x - 1) (10 x) + (x + 1) (x - 1) (x^{2} - 11)$ .

$(x + 1) (x - 1) (10 x + x^{2} - 11) = 0$

Étape 2.2.2.12

Laissez $u = x$ . Remplacez toutes les occurrences de $x$ par $u$ .

$(x + 1) (x - 1) (10 u + u^{2} - 11) = 0$

Étape 2.2.2.13

Factorisez $10 u + u^{2} - 11$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 2.2.2.13.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 11$ et dont la somme est $10$ .

$- 1, 11$

Étape 2.2.2.13.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$(x + 1) (x - 1) ((u - 1) (u + 11)) = 0$

Étape 2.2.2.14

Factorisez.

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Étape 2.2.2.14.1

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x$ .

$(x + 1) (x - 1) ((x - 1) (x + 11)) = 0$

Étape 2.2.2.14.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$(x + 1) (x - 1) (x - 1) (x + 11) = 0$

Étape 2.2.2.15

Associez les exposants.

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Étape 2.2.2.15.1

Élevez $x - 1$ à la puissance $1$ .

$(x + 1) ((x - 1) (x - 1)) (x + 11) = 0$

Étape 2.2.2.15.2

Élevez $x - 1$ à la puissance $1$ .

$(x + 1) ((x - 1) (x - 1)) (x + 11) = 0$

Étape 2.2.2.15.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$(x + 1) {(x - 1)}^{1 + 1} (x + 11) = 0$

Étape 2.2.2.15.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$(x + 1) {(x - 1)}^{2} (x + 11) = 0$

Étape 2.2.3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x + 1 = 0$

${(x - 1)}^{2} = 0$

$x + 11 = 0$

Étape 2.2.4

Définissez $x + 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.2.4.1

Définissez $x + 1$ égal à $0$ .

$x + 1 = 0$

Étape 2.2.4.2

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 1$

Étape 2.2.5

Définissez ${(x - 1)}^{2}$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.2.5.1

Définissez ${(x - 1)}^{2}$ égal à $0$ .

${(x - 1)}^{2} = 0$

Étape 2.2.5.2

Résolvez ${(x - 1)}^{2} = 0$ pour $x$ .

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Étape 2.2.5.2.1

Définissez le $x - 1$ égal à $0$ .

$x - 1 = 0$

Étape 2.2.5.2.2

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 1$

Étape 2.2.6

Définissez $x + 11$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.2.6.1

Définissez $x + 11$ égal à $0$ .

$x + 11 = 0$

Étape 2.2.6.2

Soustrayez $11$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 11$

Étape 2.2.7

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(x + 1) {(x - 1)}^{2} (x + 11) = 0$ vraie.

$x = - 1, 1, - 11$

Étape 2.3

abscisse(s) à l’origine en forme de point.

abscisse(s) à l’origine : $(- 1, 0), (1, 0), (- 11, 0)$

Étape 3

Déterminez les ordonnées à l’origine.

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Étape 3.1

Pour trouver la ou les ordonnées à l’origine, remplacez $x$ par $0$ et résolvez $y$ .

$y = {(0)}^{4} + 10 {(0)}^{3} - 12 {(0)}^{2} - 10 \cdot 0 + 11$

Étape 3.2

Résolvez l’équation.

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Étape 3.2.1

Supprimez les parenthèses.

$y = 0^{4} + 10 {(0)}^{3} - 12 {(0)}^{2} - 10 \cdot 0 + 11$

Étape 3.2.2

Supprimez les parenthèses.

$y = 0^{4} + 10 \cdot 0^{3} - 12 {(0)}^{2} - 10 \cdot 0 + 11$

Étape 3.2.3

Supprimez les parenthèses.

$y = 0^{4} + 10 \cdot 0^{3} - 12 \cdot 0^{2} - 10 \cdot 0 + 11$

Étape 3.2.4

Supprimez les parenthèses.

$y = {(0)}^{4} + 10 {(0)}^{3} - 12 {(0)}^{2} - 10 \cdot 0 + 11$

Étape 3.2.5

Simplifiez ${(0)}^{4} + 10 {(0)}^{3} - 12 {(0)}^{2} - 10 \cdot 0 + 11$ .

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Étape 3.2.5.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.2.5.1.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$y = 0 + 10 {(0)}^{3} - 12 {(0)}^{2} - 10 \cdot 0 + 11$

Étape 3.2.5.1.2

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$y = 0 + 10 \cdot 0 - 12 {(0)}^{2} - 10 \cdot 0 + 11$

Étape 3.2.5.1.3

Multipliez $10$ par $0$ .

$y = 0 + 0 - 12 {(0)}^{2} - 10 \cdot 0 + 11$

Étape 3.2.5.1.4

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$y = 0 + 0 - 12 \cdot 0 - 10 \cdot 0 + 11$

Étape 3.2.5.1.5

Multipliez $- 12$ par $0$ .

$y = 0 + 0 + 0 - 10 \cdot 0 + 11$

Étape 3.2.5.1.6

Multipliez $- 10$ par $0$ .

$y = 0 + 0 + 0 + 0 + 11$

Étape 3.2.5.2

Simplifiez en ajoutant des nombres.

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Étape 3.2.5.2.1

Additionnez $0$ et $0$ .

$y = 0 + 0 + 0 + 11$

Étape 3.2.5.2.2

Additionnez $0$ et $0$ .

$y = 0 + 0 + 11$

Étape 3.2.5.2.3

Additionnez $0$ et $0$ .

$y = 0 + 11$

Étape 3.2.5.2.4

Additionnez $0$ et $11$ .

$y = 11$

Étape 3.3

ordonnée(s) à l’origine en forme de point.

ordonnée(s) à l’origine : $(0, 11)$

Étape 4

Indiquez les intersections.

abscisse(s) à l’origine : $(- 1, 0), (1, 0), (- 11, 0)$

ordonnée(s) à l’origine : $(0, 11)$

Étape 5